Vego's geïllustreerde encyclopedie van de elektronica


vorige woord     volgende woord     index van de letter M    algemene index    

Mandelbrot-set

Een nogal ingewikkeld begrip uit de moderne fractalwiskunde dat vanwege een bepaalde grafische voorstelling van de resultaten nogal wat aandacht in computerkringen heeft gekregen.
De basis van dit soort wiskunde is 'itteratie': in een wiskundige vergelijking waarin de onbekende niet alleen links van het '='-teken staat, maar ook rechts, zoals f(x) = x + c kan men aan x een bepaalde startwaarde geven, de functie van x uitrekenen en deze uitgerekende waarde van x weer in de formule invullen.
Stel dat men in de eerste itteratiestap x gelijk stelt aan 1 en c aan 5. De functie wordt dan f(x) = 1 + 5 = 6. In de tweede stap van het itteratieproces vult men deze eerste berekende waarde van x weer in de formule in. Het resultaat wordt f(x) = 6 + 5 = 11.
Het zal duidelijk zijn dat bij voortdurend ittereren het resultaat naar plus of min oneindig streeft en wel op een volstrekt te voorspellen manier.

Veel interessanter wordt het als men gebruik maakt van complexe getallen, getallen die een reëel en een imaginair bestanddeel hebben. Een voorbeeld van een complex getal is a = 4 + 3i. '4' is hierin het reële deel van a, '3i' het imaginaire deel. 'i' is de wiskundige notatie voor imaginair getal en wordt gedefinieerd als de vierkantswortel uit het getal -1. In de reële wiskunde is dit onzin, omdat men géén vierkantswortel uit een negatief getal kan trekken.
Complexe getallen kan men zich het best voorstellen in een assenkruis, waarbij het reële gedeelte der getallen op de x-as wordt uitgezet en het imaginaire gedeelte op de y-as.
Beschouw nu de functie f(x) = x2 + c. Men kan deze functie gaan ittereren, waarbij echter voor de startwaarde van x en voor de waarde van c complexe getallen worden gekozen.
Er gebeuren dan vreemde zaken: de resultaten van de opeenvolgende itteratiestappen blijken bij bepaalde waarden van c volledig willekeurig te variëren oftewel chaotisch te worden. Minimale veranderingen in de waarde van c voeren tot zeer grote veranderingen in de resultaten van de opeenvolgende itteraties.

Een heel interessant resultaat ontstaat als men voor c een reële waarde tussen -2 en 1 kiest en voor het imaginaire deel een waarde tussen -1,5 en 1,5. Begin de itteratie met als startwaarde 0 + 0i voor x.
Men kan nu de resultaten van de opeenvolgende itteraties in het reeds genoemde x/y-assenstelsel onderbrengen. Na honderden itteraties stelt men vast dat de resultaten in de grafiek een zeer specifieke en optisch zeer fraaie vorm gaan aannemen.
Men kan het systeem uitbreiden en aan c verschillende complexe getallen toekennen. Als men nu de resultaten van de itteraties voor iedere waarde van c met een eigen kleur in het x/y-assenstelsel invult ontstaan afbeeldingen als getekend in onderstaande figuur.



Dergelijke resultaten noemt men Mandelbrot-set's, ter ere van Mandelbrot, die dergelijke plaatjes als eerste op de monitor van zijn IBM-mainframe tevoorschijn toverde. Door aan x andere startwaarden toe te kennen of c over een ander bereik te laten variëren ontstaan weer geheel andere plaatjes.

Er zijn talrijke shareware-programa's ontwikkeld, die Mandelbrot- en afgeleide set's (Julia) uitrekenen en op de computermonitor afbeelden. Een van de bekendste is 'Fractint for Windows', een programma dat van een heleboel Internet-sites te downloaden is.

Interessante elektronica links
Klik hier ... Kattenschrikdraad installatie houdt katten in of uit uw tuin
Klik hier ... Boeken voor de elektronicus
Klik hier ... Software voor schema tekenen, print ontwerpen en simulatie
Klik hier ... Goedkope digitale oscilloscopen, via USB aan te sluiten op uw PC
Klik hier ... Goedkope meetapparatuur voor het testen van uw onderdelen
Klik hier ... Draadloze elektronica in uw huis
Klik hier ... Inbraakalarm van Marmitek en KlikAanKlikUit
Klik hier ... Bespaar energie met PowerSafer
Klik hier ... Goedkope dataloggers voor t, RH, CO, V en I
Klik hier ... Educatieve producten voor het basisonderwijs